Álgebra linear Exemplos

$\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a + b + c, a - b$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $a + b + c$ é o próprio $a + b + c$ .

$(a + b + c) = a + b + c$

$(a + b + c)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O fator de $a - b$ é o próprio $a - b$ .

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O MMC de $a + b + c, a - b$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(a + b + c) (a - b)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$ por $(a + b + c) (a - b)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$ por $(a + b + c) (a - b)$ .

$\frac{a - b}{a + b + c} ((a + b + c) (a - b)) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $a + b + c$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a - b}{a + b + c} ((a + b + c) (a - b)) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$(a - b) (a - b) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Etapa 2.2.2

Eleve $a - b$ à potência de $1$ .

${(a - b)}^{1} (a - b) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Etapa 2.2.3

Eleve $a - b$ à potência de $1$ .

${(a - b)}^{1} {(a - b)}^{1} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Etapa 2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(a - b)}^{1 + 1} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $1$ .

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $a - b$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $a - b$ de $(a + b + c) (a - b)$ .

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a - b) (a + b + c))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a - b) (a + b + c))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

${(a - b)}^{2} = (a - 2 b + c) (a + b + c)$

Etapa 2.3.2

Expanda $(a - 2 b + c) (a + b + c)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

${(a - b)}^{2} = a \cdot a + a b + a c - 2 b a - 2 b \cdot b - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Etapa 2.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $a$ por $a$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b \cdot b - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.2.1

Mova $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 (b \cdot b) - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $b$ por $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique $c$ por $c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Etapa 2.3.4

Subtraia $2 b a$ de $a b$ .

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Etapa 2.3.4.1

Mova $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b - 2 a b + a c - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Etapa 2.3.4.2

Subtraia $2 a b$ de $a b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b + a c - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Etapa 2.3.5

Some $a c$ e $c a$ .

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Etapa 2.3.5.1

Reordene $c$ e $a$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + a c + a c + c b + c^{2}$

Etapa 2.3.5.2

Some $a c$ e $a c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + 2 a c + c b + c^{2}$

Etapa 2.3.6

Some $- 2 b c$ e $c b$ .

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Etapa 2.3.6.1

Reordene $c$ e $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + b c + 2 a c + c^{2}$

Etapa 2.3.6.2

Some $- 2 b c$ e $b c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2}$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Como $a$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = {(a - b)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique ${(a - b)}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Reescreva.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = 0 + 0 + {(a - b)}^{2}$

Etapa 3.2.2

Reescreva ${(a - b)}^{2}$ como $(a - b) (a - b)$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = (a - b) (a - b)$

Etapa 3.2.3

Expanda $(a - b) (a - b)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a (a - b) - b (a - b)$

Etapa 3.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a \cdot a + a (- b) - b (a - b)$

Etapa 3.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b)$

Etapa 3.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.4.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} + a (- b) - b a - b (- b)$

Etapa 3.2.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - b (- b)$

Etapa 3.2.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b$

Etapa 3.2.4.1.4

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.4.1.4.1

Mova $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b)$

Etapa 3.2.4.1.4.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2}$

Etapa 3.2.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a + 1 b^{2}$

Etapa 3.2.4.1.6

Multiplique $b^{2}$ por $1$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a + b^{2}$

Etapa 3.2.4.2

Subtraia $b a$ de $- a b$ .

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Etapa 3.2.4.2.1

Mova $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - 1 a b + b^{2}$

Etapa 3.2.4.2.2

Subtraia $a b$ de $- a b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm $a$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $a^{2}$ dos dois lados da equação.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} = - 2 a b + b^{2}$

Etapa 3.3.2

Some $2 a b$ aos dois lados da equação.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 a b = b^{2}$

Etapa 3.3.3

Combine os termos opostos em $a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 a b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Subtraia $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 0 + 2 a b = b^{2}$

Etapa 3.3.3.2

Some $- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2}$ e $0$ .

$- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 2 a b = b^{2}$

Etapa 3.3.4

Some $- a b$ e $2 a b$ .

$- 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 1 a b = b^{2}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $a$ por $1$ .

$- 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + a b = b^{2}$

Etapa 3.4

Mova todos os termos que não contêm $a$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.1

Some $2 b^{2}$ aos dois lados da equação.

$- b c + 2 a c + c^{2} + a b = b^{2} + 2 b^{2}$

Etapa 3.4.2

Some $b c$ aos dois lados da equação.

$2 a c + c^{2} + a b = b^{2} + 2 b^{2} + b c$

Etapa 3.4.3

Subtraia $c^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 a c + a b = b^{2} + 2 b^{2} + b c - c^{2}$

Etapa 3.4.4

Some $b^{2}$ e $2 b^{2}$ .

$2 a c + a b = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Etapa 3.5

Fatore $a$ de $2 a c + a b$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $a$ de $2 a c$ .

$a (2 c) + a b = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Etapa 3.5.2

Fatore $a$ de $a b$ .

$a (2 c) + a (b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Etapa 3.5.3

Fatore $a$ de $a (2 c) + a (b)$ .

$a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$ por $2 c + b$ e simplifique.

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Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$ por $2 c + b$ .

$\frac{a (2 c + b)}{2 c + b} = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $2 c + b$ .

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Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a (2 c + b)}{2 c + b} = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Etapa 3.6.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} - \frac{c^{2}}{2 c + b}$

Etapa 3.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{3 b^{2} + b c}{2 c + b} - \frac{c^{2}}{2 c + b}$

Etapa 3.6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{3 b^{2} + b c - c^{2}}{2 c + b}$

Etapa 4

Defina o denominador em $\frac{3 b^{2} + b c - c^{2}}{2 c + b}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 c + b = 0$

Etapa 5

Subtraia $2 c$ dos dois lados da equação.

$b = - 2 c$

Etapa 6

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${b | b \in ℝ}$